Антиномия нерефлексивных классов

Эта же теория типов по-своему подходит к антиномии нерефлексивных классов, о которой шла речь в предшествующем изложении. Мы привели ее решение, данное Расселом. Здесь добавим, что встречается также попытка разрешить эту антиномию другим путем, а именно принимая, что не для каждого предиката существует множество всех индивидов, которым бы он принадлежал.

Наряду с этим укажем на антиномию Бурали-Форти. Мы не будем излагать ее здесь, ибо это требует применения специальных понятий теории множеств; мы упоминаем о ней потому, что она была более ранней по времени. Ведь автор обнародовал ее до того, как была сформулирована антиномия нерефлексивных классов.

Напротив, довольно легко изложить антиномию Нельсона и Греллинга, структура которой поразительно похожа на структуру антиномии нерефлексивных классов. Будем различать, с одной стороны, такие выражения, как: «часы», «зеленый» , с другой стороны—такие выражения, как «польский», «пятислоговый» . Затем все выражения первого рода, и только их, обозначим термином «инозначный», а все выражения второго рода, и только их,— термином «самозначный» и спросим, к какому из этих двух родов относится сам термин «инозначный». Если он является самозначным, то обладает свойством, составляющим его значение, то есть свойством инозначности, и поэтому является инозначным; если же он является инозначными, то не обладает свойством, которое он обозначает, то есть свойством инозначности, или свойством не обладать свойством, которое он обозначает, а, следовательно, обладает свойством, которое он обозначает, и поэтому является самозначным. А ведь каждое выражение должно быть либо самозначным, либо инозначным, поскольку разделение выражений на самозначные или инозначные является дихотомным разделением соответственно контрадикторным свойствам.