Единичные имена

В различных логических системах квантификаторы стали со временем применять не только к переменным, представляющим единичные имена. С применением их к переменным высказываний мы уже познакомились выше. Остается упомянуть о других случаях. Так, например, можно применять квантификаторы к функциональным переменным /, G и т. д. В предыдущем параграфе мы привели ряд правильных пропозициональных функций. Переменная хбыла в них соединена с большим или малым квантификатором, была, как говорят, связана, переменные же /, G не были связаны квантификаторами, следовательно, были так называемыми свободными переменными. И вот, если в какой-либо логической формуле содержится хотя бы одна свободная переменная, то такая формула не может быть теоремой„ ибо является не высказыванием, а только функцией высказываний. Общезначимой же функцией высказываний она является в том случае, если превращается в истинное высказывание при всякой подстановке на место переменных постоянных соответствующей семантической категории. Подставляя вместо / или G те или иные предикаты, мы получили из приведенных общезначимых формул истинные высказывания. При этом каждую формулу со свободными функциональными переменными можно превратить в высказывание, а каждую общезначимую формулу со свободными функциональными переменными превратить в истинное высказывание, если только соответственно связать квантификаторами выступающие в них переменные. Рассмотрим, например, пропозициональную функцию Пдс Lfx+’ J. Достаточно связать квантификатором фигурирующую в ней свободную переменную F, чтобы получить истинное утверждение логики UfUx , читай: для каждого / и для каждого Xjx или ложно, что Fx. Говоря вольно, переменные /, G и т. д., превращающие Х в пропозициональную функцию типа Fx, символизируют черты, свойства тех предметов, которые символизирует Х. Вот еще один пример из этой области: ПхПу <П/ , читай: для каждого Х и для каждого у, если Х тождествен У, то для каждого /, /х, если, и только если, Fy.