Формирование современной логики

Наше предыдущее изложение ясно показывает, сколь важен в логике термин «класс»; он тем более заслуживает внимания, что дает повод для беспокойства. А именно известны связанные с ним антиномии, или рассуждения, которые, будучи на первый взгляд правильными — по мнению по крайней мере некоторых искушенных знатоков предмета — и имея в качестве исходного пункта истинные — по крайней мере с виду — положения, тем не менее приводят к противоречию. Среди них на первое место, с точки зрения ее значительной роли в формировании современной логики, выдвигается антиномия, которую мы позволим себе назвать антиномией нерефлексивных классов. Обычно она называется антиномией Бертрана Рассела, ибо он ее сформулировал, подвергнув критике предпосылки, лежащие в основе работы Фреге под названием «Grundgesetze der Arithmetik» . Состоит она в следующем.

Представим себе примеры классов, каждый из которых является собственным элементом, следовательно, таких, как класс классов, класс непустых множеств. Таким образом, у нас как бы имеется перед глазами класс классов, каждый из которых является собственным элементом. Затем представим себе такие классы, как класс лиц, класс домов и т. п. Класс лиц не является лицом, класс домов не является домом и т. д. и т. д. Это — примеры классов, каждый из которых не является собственным элементом. Представим себе, далее, класс классов, каждый из которых не является собственным элементом. А теперь зададимся вопросом, есть ли класс классов, каждый из которых не является собственным элементом, один из классов первого рода или один из классов второго рода?