Главные корифеи

Три имени следует упомянуть прежде всего, желая назвать, главных корифеев в этой области. Ими были: Г. Фреге, Дж. Пеано и Д. Гильберт. Готтлоб Фреге первым осознал необходимость директив, или правил, регулирующих ступени доказательства. «В том,— говорил он, — я иду дальше Евклида, что требую, чтобы все применяемые способы получения заключений и выводов предварительно были указаны». Сама концепция формальной системы была выдвинута уже Лейбницем, однако лишь Фреге первый построил формальную систему, а именно систему исчисления высказываний \ Джузеппе Пеано редактировал и снабжал главным образом собственными работами издание, носившее название «Formulaire de Mathematiques» . Оно решающим образом способствовало изложению достижений математики в последовательной внешней форме при помощи искусственного языка. Он также создал аксиоматику арифметики натуральных чисел. Давид Гильберт выдвинул требование независимости техники построения формальной системы от аспекта значений ее составных знаков в связи с программой нахождения метода, который гарантировал бы непротиворечивость всей математики, и построил формальную систему геометрии. Впрочем, идея формальной системы еще ранее приходила в голову ученым, занимающимся геометрией. Мориц Паш, автор работы «Лекции по новой геометрии» , пришел к выводу, что дуализм теорем обычной трехмерной проекционной геометрии подсказал математикам мысль о том, что истинность положений в математике не зависит от смысла основных понятий, а зависит исключительно от их основных отношений, изложенных в определениях и постулатах, из которых положения логически выводимы в качестве их формальных следствий.