Исчисление классов

До сих пор мы говорили об алгебре Буля таким образом, как если бы это было какое-то исчисление классов, некий алгоритм, служащий специально для обозначения определенных отношений между такими-то, а не иными классами произвольных предметов на основе данных отношений между определенными классами таких предметов. Ведь трудно было обойтись без какой-то интерпретации этой алгебры, желая наглядно представить ее содержание. Однако в сущности это чисто формальная система, система записей определенной структуры, составленных из букв и определенной формы знаков между буквами и около них, подчиняющаяся определенным правилам, позволяющим создавать новые записи из тех, которые предварительно уже приняты. Так Буль понимал задачу своей алгебры, отдавая себе отчет в ее максимально абстрактном характере и в большом количестве способов возможного применения именно такого алгоритма. И действительно, его концепция оказалась чрезвычайно плодотворной и оперативной. А различные применения алгебры Буля достигают результата путем ее различных интерпретаций, или придания ее символам различных значений.

Однако такая интерпретация через классы не является единственно возможной интерпретацией через классы алгебры Буля. Иную, параллельную интерпретацию мы получим, отводя знаку + роль знака перекрещения классов, а знаку х роль знака суммы классов и соответственно изменяя на противоположные роли единицы и нуля. В этом случае, например, запись —» может быть прочитана так: если перекрещение дополнения класса Ъ и класса А есть пустой класс, то сумма классов B и А тождественна с классом B. Допустим, что А означает «овчар», а Ъ — «знахарь»; тогда формулу кратко можно прочитать следующим образом: если нет овчара, который одновременно не был бы знахарем, то только знахари являются овчарами. Нет необходимости добавлять, что наиболее значительные применения алгебры Буля следует искать в области математических теорий или теорий, применяющих математику, а наши примитивные примеры элементарно житейского характера мы приводим лишь для дидактических целей, для наиболее наглядного показа основных зависимостей этой алгебры. Добавим, что свое применение находят обе упомянутые интерпретации через классы, ибо в одном случае наиболее соответствующей данной цели оказывается первая из них, в ином случае — вторая.