Исторический момент

Насколько нам известно, в течение большого промежутка времени, отделяющего период мегарской школы от современного исторического момента в развитии логики, не было выявлено никаких новых загадок, хитроумность которых и значение их для логики можно было бы сравнить с тонкими идеями элеатов и мегарцев. Поэтому мы сразу переходим к нашему времени, изобилующему не менее остроумными и трудными антиномиями, чем самые хитроумные и самые трудные парадоксы древности. С одной из них, антиномией Рассела, мы познакомились в предшествующем изложении. Теперь приведем несколько других.

Начнем с антиномии Берри. Сформулируем определение: LОзначает наименьшее из натуральных чисел, которые удается определить при помощи не менее чем 1000 слов. Так вот, легко доказать, что такое число существует, а с другой стороны, очевидно, что приведенное его определение содержит менее чем 1000 слов. Противоречие — как доказывают специалисты — исчезает, если совокупность арифметических выражений отличать от совокупности слов, содержащих имена арифметических выражений. Наше определение, сформулированное на этом более широком языке, так называемом метаязыке, содержит менее чем 1000 слов, однако обозначает число, определение которого на языке самой арифметики требовало бы использования по меньшей мере 1000 слов.

Приведем далее антиномию всех множеств. Множество всех множеств, само будучи множеством, подчиняется общему закону, гласящему, что каждое множество по своей многочисленности равно или меньше множества, всех его подмножеств . С другой стороны, охватывая все множества, это множество всех множеств должно быть наиболее многочисленным из всех возможных. Теория логических типов указывает путь разрешения этого кажущегося противоречия.