Принцип dictum de omni et nullo

всю силлогистику можно вывести из четырех аксиом

В этом есть известный смысл, если считать, что аристотелевская силлогистика ассерторических высказываний основана на принципе, именуемом dictum de omni et nullo, ибо это dictum просто повторяет совокупное содержание модусов Barbara и Celarent, говоря, что «все, что утверждается обо всем, утверждается о некоторых и об отдельных, а все, что отрицается обо всем, отрицается о некоторых и об отдельных». Правда, сформулированное таким образом dictum говорит о большем, чем те два главных модуса, ибо переносит предикат или его отсутствие со всей совокупности элементов данного множества не только на совокупность элементов определенного подмножества, но и на каждый произвольно выбранный отдельный элемент нового множества, что выходит за сферу силлогистики Аристотеля, свободной от подстановки на место переменных единичных имен; однако его содержание охватывает оба упомянутых главных силлогизма. Несмотря на это, нельзя считать, что Barbara и Celarent достаточны как аксиомы системы. Очевидно, что Аристотель, помимо этого, принимает без доказательства определенные законы конверсии высказываний и при обосновании несовершенных силлогизмов молчаливо или с недомолвками исходит из определенных законов исчисления высказываний.

Лукасевич показал, что всю силлогистику ассерторических высказываний можно вывести из четырех аксиом. Ими являются: Barbara, Datisi., положение «всякое А есть А» и положение «некоторое А есть А» . Что касается специфических терминов силлогистики, то в качестве первоначальных принимаются «а» и «б», и посредством их определяются термины «е» и «о» . При этом берется ряд утверждений из исчисления высказываний, а из запаса терминов исчисления высказываний — пропозициональное отрицание, конъюнкция и импликация. Что касается правил, то он оперирует правилами подстановки, отбрасывания и замещения definiens definiendum и обратно. Однако эта аксиоматизация вводит в силлогистику отсутствующие в подлинном излржении Аристотеля оба упомянутых выше закона тождества.