Классы алгебры

Интерпретация через классы алгебры Буля не надо смешивать с интерпретацией, которую мы позволим себе назвать мереологической. Такую интерпретацию мы получим, если 1 будем трактовать, например, как определенное тело, а, Ь, с… и т. д. как его фрагменты, А‘— как дополнение фрагмента А до тела в целом, или как тот его фрагмент, который вместе с А образует тело в целом, А+Ь — как фрагмент, фрагментами которого, составляющими его как целое, являются фрагменты а и B, Axb — как общий фрагмент фрагментов а и 6…

Положение A=Ab+Ab мы в этом случае прочитаем, например, так: фрагмент в целом составляют фрагмент фрагмента А, являющийся одновременно фрагментом фрагмента 6, и фрагмент фрагмента а, являющийся одновременно фрагментом дополнения фрагмента Ь до тела в целом. Пусть рассматриваемым целым телом будут, например, какие-либо отдельные часы, буква А Пусть означает подвижную часть этих часов, буква B пусть означает часть этих часов, видимую снаружи. Наше простое положение в этом случае гласит, что в целом подвижную часть часов составляют: часть, общая их подвижной части и части, видимой снаружи, и часть, общая их подвижной части и части, невидимой снаружи. Интересно, что после построения алгебры Буля возникло несколько систем теории фрагментов и лишь затем стали отдавать себе отчет в том, что они представляют собой просто интерпретации алгебры Буля.

Так обстояло дело, например, с первой системой такого рода, или с «мереологией» Станислава Лесневского. Она опиралась на следующие аксиомы: 1) если Р есть часть предмета Q, то Q не есть часть предмета Р; 2) если Р есть часть предмета Q, л Q есть часть предмета /?, то Р есть часть предмета R; 3) если Р есть класс предметов a, a Q есть также класс предметов а, то Р есть Q; 4) если определенный предмет есть а, то определенный предмет есть класс предметов А. В двух последних аксиомах выступает термин «класс» . Он определяется через отнесение к термину «ingrediens», последний же—через отнесение к термину «часть», единственному специфическому первичному термину мереологии. Определение 1 гласит: Р является ингредиентом предмета Q тогда, и только тогда, когда Р есть тот же самый предмет, что и Q, или есть часть предмета Q. Определение 2 : Р является классом предметов А тогда, и только тогда, когда выполнены следующие условия: а) Р есть предмет, б) каждое А есть ингредиент предмета Р, в) при всяком Q, если Q есть ингредиент предмета Р, то определенный ингредиент предмета QЕсть ингредиент определенного А.