Многозначная логика

различие в матрицах отрицания и импликации

А ведь мы отнюдь не доказали, что-либо тезис о существовании исключительного числа, либо тезис о его несуществовании является истинным. Констатировав все это, Гейтинг весьма выразительно заявляет, что было бы ошибкой считать представленную им систему логики некоторой многозначной логикой, многозначной в том смысле, как если бы она рассматривала какое-то высказывание — не истинное и не ложное, а обладающее каким-то третьим логическим значением наряду с истинными высказываниями и высказываниями ложными. Она содержит лишь высказывания, о которых неизвестно, являются ли они истинными или ложными, как, например, закон исключенного третьего. То, что он в ряде случаев неприменим, — это утверждение о логике, а не положение, принадлежащее к внутрилогическим утверждениям. Гейтинг поддержал принципиальную идею Броуэра и разработал систему недвузначного исчисления высказываний. Однако вскоре оказалось, что первичные трехзначные матрицы этой системы не согласуются с ее аксиоматикой и что необходимы матрицы, вводящие большое число логических значений. При всем этом уже при трех значениях вырисовывается различие в матрицах отрицания и импликации по сравнению с системой Лукасевича. Гейтинг принимает, что отрицание половины дает нуль: отрицать половинчатое высказывание — значит утверждать ложное высказывание. Он принимает, далее, что импликация V2<0 имеет логическое значение 0, а не /2, как вытекало из вычисления Лукасевича. Вычисление импликации у Гейтинга более просто: в случае, если логическое значение антецедента импликации равно логическому значению консеквента или «меньше» его, то импликация в целом, как и у. Лукасевича, равна 1, в случае же, когда логическое значение антецедента «больше» логического значения консеквента, логическое значение импликации в целом тождественно логическому значению консеквента.