Производные положения

исчисление отношений

Вся эта аксиоматика сформулирована без индивидуальных переменных и поэтому находится целиком в той части теории отношений, в которой не выступают индивидуальные переменные, и аксиоматизирует только эту часть, названную Тарским исчислением отношений. Желая охватить совокупность формул теории отношений, а следовательно, также и формулы с индивидуальными переменными, автор создает иную систему аксиом, при которой приведенная выше система становится совокупностью производных положений, теорем системы. Однако нам, поскольку мы ограничиваемся конечными действиями и конечными множествами индивидов, достаточно заняться упомянутым исчислением отношений, тем более что каждую из его формул можно трактовать как сокращение соответствующей формулы с индивидуальными переменными.

Обратим внимание на то, что специфические функторы для теории отношений содержатся лишь в аксиомах VIII — XV и что аксиомы I —VII являются лишь слегка модифицированным повторением гентингтоновской аксиоматики алгебры Буля. Пусть нас не вводит в заблуждение кажущееся уменьшение их числа. Ведь под одним номером здесь в нескольких случаях выступают два независимых высказывания, соединенных конъюнкцией, например под номерами И, III, IV, V и VI. Место переменных классов в интерпретациях алгебры Буля занимают здесь относительные переменные. Таким образом, исчисление отношений оказывается также известной интерпретацией и одновременно известной детализацией этой алгебры. В этом нет ничего удивительного, если отдавать себе отчет в том, что отношения можно трактовать как классы определенного рода, именно как классы упорядоченных пар.