Школа интуиционистов

закон исключенного третьего оказался неприменимым

Броуэр и Гейтинг представляют школу интуиционистов в философии математики. Название этой школы объясняется тем, что ее сторонники подчеркивают особенно важную роль в математике интуиции или какого-то непосредственного представления последовательности натуральных чисел и сущности доказательства при помощи так называемой математической индукции. С этой точки зрения они подвергают критике многие доказательства, особенно из теории определенных бесконечных множеств; одним же из основных моментов этой критики является сомнение в правильности рассуждений по закону исключенного третьего, поскольку эти рассуждения применяются к некоторым бесконечным множествам. По их мнению, в этом случае из ложности отрицания данного высказывания нельзя делать вывод об истинности этого высказывания. Следовательно, применимость формулы исключенного третьего как-то ограничивается.

Вот как высказывается по этому поводу Гейтинг в одной из своих последних философских статей. Рассмотрим утверждение : всякое число больше единицы является либо простым, либо суммой двух простых, либо суммой трех простых чисел. Мы не знаем, является ли это истиной, хотя во всех исследованных случаях это подтвердилось. Назовем тогда исключительным числом то число, которое не удовлетворяет утверждению, и спросим, существует ли такое число? Пусть выражение, что существует такое число х, что Р , означает, что такое число может быть вычислено, может быть эффективно указано. Отрицание же высказывания Р пусть означает, что высказывание Р привело к противоречию. При современном состоянии науки мы не можем ни эффективно указать хотя бы одно исключительное число, ни вывести противоречие из допущения, что такое число указано. В связи с этим мы не имеем права ни утверждать, что существует исключительное число, ни отрицать это, и закон исключенного третьего оказывается неприменимым. Но это не значит, что закон исключенного третьего ложен, ибо если бы кто-либо утверждал это, то он утверждал бы, что закон исключенного третьего влечет за собой противоречие.