Важные применения

два множества являются равномощными

Понятия теории отношений имеют многочисленные и важные применения в теоретических исследованиях. Так, например, при помощи понятия отношения, имеющего характер функции, вводится определение равномощности множеств, представляющее один из главных шагов на пути сведения понятия математики к понятиям логики. Именно два множества являются равномощными, если существует такое отношение, что каждый элемент одного из этих множеств находится в этом отношении к одному, и только одному, элементу другого, и наоборот. В этом случае говорится, что оба эти множества имеют общее кардинальное число, или общую мощность. Ведь кардинальное число — это собственно класс равномощных множеств. Так, например, множество занятых одноместных сидений в трамвае равномощно множеству занимающих их пассажиров, поскольку каждый пассажир находится в отношении «сидеть на» к одному, и только одному, месту, а каждое место находится в обратном отношении «быть занятым» к одному, и только одному, пассажиру. Множество сторон данного треугольника равномощно множеству его внутренних углов, ибо существует отношение противолежания, согласно которому эти стороны и углы находятся в именно таком взаимно-однозначном соответствии. Множество натуральных чисел и множество натуральных четных чисел равномощны с точки зрения отношения «быть вдвое меньше», хотя множество натуральных четных чисел представляет собственную часть множества натуральных чисел. И это характерно для бесконечных множеств, что они имеют собственные части, равномощные целому.